Задание 3861
Задание 3861
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BE$$, а на гипотенузе $$BC$$ взята точка $$M$$ так, что $$EM \perp BE$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$CM=1$$, $$CE=2$$.
Ответ: 3,84
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) Пусть $$\angle ABE = \angle EBM = \alpha$$. Тогда из треугольника ABE $$\angle BEA = 90- \alpha$$. Тогда $$\angle MEC = 180 - (90 - \alpha) - 90 = \alpha$$ (как смежный с $$\angle AEM$$)
2)$$\angle C$$ - общий, тогда треугольники BEC и EMC подобны по двум углам. Тогда: $$\frac{MC}{EC}=\frac{EC}{BC}$$
Пусть BM=x, тогда BC = x+1:
$$\frac{1}{2}=\frac{2}{x+1}$$, следовательно $$x=3$$
3) По свойству биссектрис:
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}$$
Пусть AB=a ; AE=b, тогда:
$$\frac{a}{4}=\frac{b}{2}$$, следовательно, $$a=2b$$
4)По теореме Пифагора из треугольника ABC:
$$(2b)^{2}+(b+2)^{2}=4^{2}$$
$$5b^{2}+4b-12=0$$
$$b=1,2$$
Тогда $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*1,2*(1,2+2)=3,84$$