Задание 3814
Задание 3814
Сторона равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$14$$. Через его центр проведена прямая $$l$$, пересекающая сторону $$BC$$ и проходящая на расстоянии $$\sqrt{7}$$ от середины стороны $$AB$$. В каком отношении прямая $$l$$ делит сторону $$BC$$?
Ответ: $$\frac{3}{2}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) $$CH$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$ $$CH=AB\cdot\sin60^{\circ}=7\sqrt{3}$$; $$OH=\frac{1}{3}CH=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$
2) из $$\bigtriangleup HKO$$: $$\sin HOK=\frac{HK}{OH}=\frac{\sqrt{7}}{7\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$$
3) $$OC=\frac{2}{3}CH=\frac{14\sqrt{3}}{3}$$; $$\angle OCM=30^{\circ}$$; $$\bigtriangleup MOC$$ по т. синусов: $$\frac{OM}{\sin OCM}=\frac{MC}{\sin MOC}$$; $$OM=\frac{MC\cdot\sin OCM}{\sin MOC}=\frac{MC\cdot\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$$; $$\cos HOK=\sqrt{1-\sin^{2}HOK}=\frac{2}{\sqrt{7}}$$;
Пусть $$MC=x$$, тогда $$OM=\frac{x\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$$
4) По т. косинусов: $$MC^{2}=OM^{2}+OC^{2}-2OM\cdot MC\cos MOC$$; $$x^{2}=\frac{7x^{2}}{4\cdot3}+\frac{196\cdot3}{9}-\frac{2\cdot\sqrt{7}x\cdot14\sqrt{3}\cdot2}{2\sqrt{3}\cdot3\cdot\sqrt{7}}$$;
$$x^{2}=\frac{7x^{2}}{12}+\frac{196}{3}-\frac{28x}{3}$$ $$|\cdot12$$
$$5x^{2}+112x-784=0$$; $$D=12544+15680=168^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-112+168}{10}=5,6$$; $$x_{2}<0$$
$$MC=5,6$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=14-5,6=8,4$$; $$\frac{BM}{MC}=\frac{8,4}{5,6}=\frac{3}{2}$$