Задание 3766
Задание 3766
На боковой стороне $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ взята точка $$M$$ таким образом, что $$AM:MB=2:3$$. На противоположной стороне $$CD$$ взята такая точка $$N$$, что отрезок $$MN$$ делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение $$CN:ND$$, если известно, что $$BC:AD=1:2$$.
Ответ: $$\frac{3}{29}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1)Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P: $$\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$$, тогда BC - средняя линия в треугольнике APD
2)Пусть $$S_{MBCN}=S$$, тогда $$S_{AMND}=3S$$, тогда $$S_{ABCD}=4S$$
3)Из подобия треугольников PBC и APD и свойства средней линии треугольника : $$\frac{S_{BPC}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}$$, следовательно, $$S_{BPC}=\frac{4S}{3}$$
4)Пусть AM=2x, тогда MB=3x ; AB=5x=BP. Пусть CN=q, CD=PC=z. Тогда $$\frac{S_{BMN}}{S_{PAD}}=$$$$\frac{\frac{4s}{3}+S}{\frac{4s}{3}+4S}=$$$$\frac{PM*PN}{PA*PD}=$$$$\frac{8x*(z+q)}{10x*2x}$$. Получаем, что $$\frac{35z}{32}=z+q \Leftrightarrow$$$$q=\frac{3}{32}z=CN\Leftrightarrow$$$$z-q=\frac{29}{32}z=ND\Leftrightarrow$$$$\frac{CN}{ND}=\frac{3}{29}$$
Примечание: возможен вариант построения точки N ближе к D, чтобы распределение площадей получилось противоположным $$S_{MBCN}=3S$$, тогда $$S_{AMND}=S$$, но при подобном приведенному решению мы получим невозможность существования подобного разбиения площадей (точка N будет лежать вне стороны CD) - попробуйте решить самостоятельно.