Задание 3647

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ:

Решение 1

ⓘ

Скрыть

Последовательно соединенные через одну вершины восьмиугольника образуют треугольники, стороны которых образованы сторонами восьмиугольника и проведенными отрезками. В правильном восьмиугольнике все стороны и углы равны. Получается, что все получившиеся треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, все стороны у получившейся фигуры равны.

Углы у этих треугольников равны $$135;22,5; 22,5.$$

Тогда угол фигуры можно рассчитать как: $$\frac{360 - 135 - 22,5 - 22,5}{2}=90.$$

Итак, у нас получилась фигура с углами в $$90$$ градусов и равными сторонами. То есть квадрат.