Задание 3382
Задание 3382
В треугольник со сторонами $$AB=8$$, $$BC=6$$, $$AC=4$$ вписана окружность. Найдите длину отрезка $$DE$$, где $$D$$, $$E$$ – точки касания этой окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$ соответственно.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть O-центр окружности , тогда: $$OD\perp AB OE\perp AC$$ (свойство радиуса к касательной)
2) $$OD=OC=\frac{S}{p}=$$$$\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$ (формула Герона); $$p=\frac{8+6+4}{2}=9$$; $$OD=\sqrt{\frac{(9-6)(9-8)(9-4)}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{3*1*5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$
3) $$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2*AB*AC}=\frac{8^{2}+4^{2}-6^{2}}{2*8*4}=\frac{11}{16}$$ (теорема косинусов)
4) $$\angle DOE=180-\angle A\Rightarrow$$ $$\cos DOE=-\cos A=-\frac{11}{16}$$
5)$$\Delta DOE$$: $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}-2DO*OE*\cos DOE}=$$$$\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+2\frac{5}{3}*\frac{11}{16}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{36}+\frac{110}{16*3}}=$$$$\sqrt{\frac{270}{16*3}}=\sqrt{\frac{90}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$$