Задание 3380
Задание 3380
В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ углы при основании $$AD$$ равны $$30$$, диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$BAD$$. Биссектриса угла $$BCD$$ пересекает основание $$AD$$ в точке $$M$$, а отрезок $$BM$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$K$$. Найдите площадь треугольника $$AKM$$, если площадь трапеции $$ABCD$$ равна $$2+\sqrt{3}$$ см2.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$AB=CD=a$$, $$\angle BAC=\angle CAD$$(AC-биссектриса ), $$\angle CAD=\angle ACB$$(накрест лежащие),тогда $$\angle BAC=\angle BCA\Rightarrow$$ $$AB=BC=a$$
2) Аналогично для $$\Delta CMD$$ : $$\angle BCM=\angle CMD$$, $$\angle BCM=\angle MCD$$, тогда $$\angle CMD=\angle MCD$$ и $$CD=MD=a$$
3) из п.2 и параллельности BC и MD получим, что BCDM-параллелограмм; $$BM=CD=a$$, $$\Delta A_{1}BM$$ -равнобедренный; $$\angle ABM=180-2*30=120$$
По теореме косинусов : $$AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}-2AB*BM*\cos ABM}=$$$$\sqrt{a^{2}+a^{2}-2*a*a*\cos 120}=a\sqrt{3}$$
4) AK-биссектриса , тогда $$\frac{AB}{AM}=\frac{AK}{KM}=$$$$\frac{a}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда $$\frac{KM}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$$ и $$S_{\Delta AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}S_{ABM}$$
5) Пусть $$CN\perp AD$$,тогда из $$\Delta CND$$: $$CH=CD*\sin D=\frac{a}{2}$$
6) $$S_{ABD}=\frac{a+a+a\sqrt{3}}{2}*\frac{a}{2}=$$$$\frac{a^{2}}{4}(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$a^{2}=4\Rightarrow a=2$$
7)$$S_{ABM}=\frac{1}{2}*a*a* \sin 120=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\sqrt{3}$$
$$S_{AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}*\sqrt{3}=$$$$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$$