Задание 3309
Задание 3309
В остроугольном треугольнике $$ABC$$ на высоте $$AD$$ взята точка $$M$$, а на высоте $$BP$$ – точка $$N$$ так, что углы $$BMC$$ и $$ANC$$ – прямые. Расстояние между точками $$M$$ и $$N$$ равно $$4+2\sqrt{3}$$, $$\angle MCN = 30^{\circ}$$. Найдите биссектрису $$CL$$ треугольника $$CMN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle APB=\angle ADB=90$$ ,т.к. опирается на AB, то $$A_{1},B_{1},D_{1},P_{1}$$ лежат на одной окружности .
2) $$\angle PDA =\angle PBA$$ (вписаные , на одну дугу)
$$\angle A=90-\angle PBA(\Delta PBA)$$
$$\angle PDC=90-\angle PDA(\Delta ADC)$$
Тогда $$\angle A=\angle PDC$$, и т.к. $$\angle C$$ - общий , то $$\Delta ABC\sim \Delta PDC\Rightarrow$$ $$\frac{CB}{CP}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow$$ $$AC*CP=BC*CD(1)$$
3) из $$\Delta ACN :CN^{2}=AC*CP$$
Из $$\Delta CMB: CM^{2}=BC*CD$$
С учетом (1): $$CN^{2}=CM^{2}\Rightarrow$$ $$CN=CM$$ и $$\Delta CMP$$ равнобедренный
4) Пусть CH- биссектриса , она и медиана и высота . $$NH=\frac{1}{2} NM=2+\sqrt{3}$$
$$\angle HCN=\frac{1}{2}\angle MCN=15$$
Из $$\Delta CHN \frac{HN}{HC}=tg \angle HCN\Rightarrow$$ $$HC=\frac{2+\sqrt{3}}{tg 15}$$
$$tg 15=\frac{\sin 30}{1+\cos 30}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$
$$HC=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}$$