Задание 3287
Задание 3287
На диагонали $$BD$$ прямоугольной трапеции $$ABCD$$ ($$\angle D=90^{\circ}$$, $$BC\parallel AD$$) взята точка $$Q$$ так, что $$BQ:QD=1:3$$. Окружность с центром в точке $$Q$$ касается прямой $$AD$$ и пересекает прямую $$BC$$ в точках $$P$$ и $$K$$. Найдите длину стороны $$AB$$, если $$BC=9$$, $$AD=8$$, $$PK=4$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть F точка касания и $$CD=x$$. Опустим перпендикуляры FH(через Q) и $$AC_{1}$$. Тогда $$CD=FH=AC_{1}=x$$
2) $$\Delta QHB\sim \Delta DCB$$: $$\frac{CD}{QH}=\frac{BD}{BQ}\Rightarrow$$ $$QH=\frac{1}{4}EB=\frac{1}{4}x\Rightarrow$$$$FQ=x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x$$. Но QP=QF (радиус)
3) из $$\Delta QHP:$$ $$PH=\frac{1}{2}PK=2$$. Тогда по т. Пифагора : $$PQ^{2}=QH^{2}+PH^{2}\Leftrightarrow$$ $$(\frac{3}{4}x)^{2}=(\frac{1}{4}x)^{2}+2^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}}{2}=4\Rightarrow$$ $$x^{2}=8$$
4)из $$\Delta AC_{1}B$$ : $$AB=\sqrt{AC_{1}^{2}+C_{1}B^{2}}$$. $$C_{1}B=CB-AD=9-8=1$$, $$AC_{1}^{2}=x^{2}=8$$, тогда $$AB=\sqrt{8+1}=3$$