Задание 3240

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть KE=a=27; KM=b; EB=x; BM=y=8; KB=m=24; $$\angle EKB=\angle BKM=\alpha$$

     2) По свойству биссектрисы: $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}(1)$$

     3) Рассмотрим теорему косинусов для $$\Delta EBK$$ и $$\Delta BMK$$:

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=m^{2}+b^{2}-2mb \cos \alpha\\x^{2}=m^{2}+a^{2}-2ma \cos \alpha\end{matrix}\right.$$

  Умножим первое и второе уравнения на a и b соответственно и вычтем из первого второе :

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}a =m^{2}a+b^{2}a-2mab \cos \alpha\\x^{2}b=m^{2}b+a^{2}b-2mab \cos \alpha\end{matrix}\right.$$

  Получим: $$y^{2}a-x^{2}b=m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b$$

  Рассмотрим левую часть равенства: $$y^{2}a-x^{2}b=xy(\frac{ya}{x}-\frac{xb}{y})$$ .С учетом , что $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$, получим : $$xy(\frac{b}{a}*a-\frac{a}{b}*b)=xy(b-a).$$

  Рассмотрим правую часть равенства: $$m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$. Получим : $$xy(b-a)=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$.

  Т.к. $$a\neq b$$ (иначе получим равнобедренный), то поделим $$a-b$$: $$-xy=m^{2}-ba\Rightarrow m^{2}=ab-xy(2)$$ - вообще, это формула длины биссектриссы через две стороны и отрезки третьей, но в учебниках за 7-9 класс ее не встречал, потому необходимо ее выводить.

     4) Итого имеем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\m^{2}=ab-xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{8}=\frac{27}{b}\\24^{2}=27b-8x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{216}{b}\\576=27b-\frac{8*216}{b}\end{matrix}\right.$$

$$576b=27b^{2}-1728\Leftrightarrow$$ $$27b^{2}-576b-1728=0|:9\Leftrightarrow$$ $$3b^{2}-64b-192=0$$

$$D=4096+2304=6400$$

$$b_{1}=\frac{64+80}{6}=\frac{144}{6}=24$$

$$b_{2}=\frac{64-80}{6}<0$$

     5) $$P_{BMK}=m+y+b=24+8+24=56$$