Задание 3191
Задание 3191
В трапеции $$ABCD$$ с боковыми сторонами $$AB=9$$ и $$CD=5$$ биссектриса угла $$D$$ пересекает биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, а биссектриса угла $$B$$ пересекает те же две биссектрисы в точках $$L$$ и $$K$$, причём точка $$K$$ лежит на основании $$AD$$. Найдите отношение $$MN:KL$$, если $$LM:KN=3:7$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle ABK=\angle CBK$$ (BL-биссектриса ), $$\angle CBK=\angle AKB$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow AB=AK=9$$; AL-биссектриса , медиана и высота равнобедренного $$\Delta ABK$$: $$AL\perp BK$$ и $$BL\perp LK(1)$$
2) Аналогично из $$\Delta CDK$$ : $$CD=DK=5$$; $$DN\perp CK$$; $$CN=NK$$. С учетом (1) - LN-средняя линия $$\Delta BKC$$ и AD=14
3) $$MK\cap LN=Q$$; $$KM\cap BC=P$$. Тогда : $$LN\left | \right |BC$$, $$BC\left | \right |AD\Rightarrow$$ $$LN\left | \right |AD$$ и : $$\Delta LMN\sim \Delta AMD\Rightarrow$$ $$QN:QL=KD:KA=5:9\Rightarrow$$ $$QL=\frac{9 QN}{5}(2)$$
4) $$\angle MLN=\angle MNK=90\Rightarrow$$ около $$MNKL$$ можно описать окружность ($$\angle MLK+\angle MNK=180$$) $$\Rightarrow \Delta LMQ\sim \Delta QNM$$: $$\frac{LM}{NK}=\frac{MQ}{QN}=\frac{3}{7}(3)$$
5) $$\Delta LQK\sim \Delta MQN\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{LK}=\frac{MQ}{QL}$$. С учетом (2) : $$\frac{NQ}{QL}=\frac{MQ}{\frac{9QN}{5}}=$$$$\frac{5MQ}{9 QN}(3)$$. С учетом (3): $$\frac{5 MQ}{9 QN}=\frac{5}{9}*\frac{3}{7}=$$$$\frac{5}{21}=\frac{MN}{LK}$$