Задание 3174

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\x^{2}+2xy+y^{2}-xy=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\(x+y)^{2}-xy=7\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; xy=b

     $$\left\{\begin{matrix}a+b=5(1)\\a^{2}-b=7(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$b=5-a$$

     Сложим (1) и (2): $$a^{2}+a=12\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-12=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}a_{1}+a_{2}=-1\\a_{1}*a_{2}=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-4\\a_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=5-(-4)=9\\b=5-3=2\end{matrix}\right.$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\xy=9\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=4-y\\(-4-y)y=9\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}x=3+y\\(3-y)y=2\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$-y^{2}-4y-9=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+4y+9=0\Leftrightarrow$$ $$D=16-36<0\Rightarrow$$ решений нет

     (2): $$3y-y^{2}=2\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-3y+2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=1\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$