Задание 3164
Задание 3164
В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AM$$. Докажите, что если $$AB+BM=AC+CM$$, то треугольник $$ABC$$ – равнобедренный
Ответ:
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) Пусть $$MK\perp AB$$; $$MH\perp AC$$, тогда $$\Delta AKM=\Delta AMH$$ ( по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$KM=MH$$$$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-BL^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(BM-BK)(BM+BK)=(CM-CH)(CM+CH)(1)$$
2) Т.к. $$AB+BM=AC+CM(2)$$ и $$AK=AH$$, то $$BK+BM=CH+CM$$$$\Rightarrow$$ с учетом (1): $$BM-BK=CM-CH|-AH$$$$\Leftrightarrow$$ $$BM-AB=CM-AC(3)$$
3)Вычтем (2) из (3): $$2AB=2AC$$$$\Rightarrow$$ $$AB=AC$$$$\Rightarrow$$ $$\Delta ABC$$ –равнобедренный.