Задание 3141

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Построим через $$CH\left | \right |AM$$ ($$H=CH\cap AB$$)

Пусть $$HK\cap BC=N$$; HBKC - равнобедренная трапеция $$\Rightarrow$$ BC=HK

Пусть $$BC=x=HK$$; $$AB=2x\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=BC*AB=2x^{2}$$

     2) $$\Delta BKN\sim \Delta HNC$$; $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}(1)$$; $$HC\left | \right |AM$$ и $$AB\left | \right |CD\Rightarrow$$ HCPA - параллелограмм и HC=AP

С учетом (1): $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}=\frac{BK}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{4}*BC=\frac{x}{4}$$, $$NC=\frac{3}{4}*BC=\frac{3x}{4}=NH$$

     3) из $$\Delta BNH$$: $$BH=\sqrt{NH^{2}-BN^{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$$

$$tg\angle BHC=\frac{BC}{BH}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}}=$$$$\sqrt{2}=tg\angle A\Rightarrow$$ $$\sin A=\sqrt{\frac{2}{3}}$$, $$\cos A=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

$$HC=\frac{BC}{\sin HBC}=\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow$$ $$BK=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$$

     4)Пусть $$BL\perp AM$$, тогда из $$\Delta ABL$$: $$AL=AB*\cos A=2x*\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AM=BK+2AL=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{2*2x}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{x(\sqrt{3}+4\sqrt{6})}{3\sqrt{2}}$$, $$BL=AB \sin A=\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$S_{ABKM}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}+x*4\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}}{2}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x\sqrt{3}+4x\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}$$

     5) $$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABKM}}=2x^{2}:\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{2})}=\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$