Задание 3114
Задание 3114
На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$ взяты соответственно точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ и $$L$$, причём $$AM:MB=CK:KD=\frac{1}{2}$$, а $$BN:NC=DL:LA=\frac{1}{3}$$. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков $$AN$$, $$BK$$, $$CL$$ и $$DM$$, если площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна $$1$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Введем обозначения, как показано на рисунке.
2) В силу равенства BLи AD и AB и CD, а так же, $$\frac{AM}{MB}=\frac{CK}{KD}$$ и $$\frac{BN}{NC}=\frac{DL}{AD}$$, получим равенство $$\Delta BKC$$ и $$\Delta AMD$$ ; $$\Delta ABN$$ и $$\Delta CDL$$, и что MBKD, ANCL - параллелограммы $$\Rightarrow$$ $$BK\left | \right |MD$$ и $$AN\left | \right |CL$$
3) Тогда по т. Фалеса $$\frac{BA_{1}}{BB_{1}}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{4}$$$$\Rightarrow$$, если $$S_{BNA_{1}}=y$$, то $$S_{BCB_{1}}=16y$$ (площади подобных относятся как квадрат коэффициента подобия)$$\Rightarrow$$ $$S_{NCB_{1}A_{1}}=15y$$. Аналогично, $$S_{DC_{1}L}=y$$; $$S_{AD_{1}C_{1}L}=15y$$
Если $$S_{AMD_{1}}=x$$ , то $$S_{ABA_{1}}=9x$$$$\Rightarrow$$ $$S_{MBA_{1}D_{1}}=8x$$
Аналогично, $$S_{CKB_{1}}=x$$; $$S_{B_{1}KDC_{1}}=8x$$ ,пусть $$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=Z$$
4) $$S_{MBKD}=\frac{MB}{AB}*S_{ABCD}=\frac{2}{3}=2*8x+z$$
$$S_{ABCL}=\frac{NC}{BC}*S_{ABCD}=\frac{3}{4}=2*15y+z$$
$$S_{ABCD}=1=2*16y+2*9x+z$$
Получим :
$$\left\{\begin{matrix}16x+z=\frac{2}{3}\\30y+z=\frac{3}{4}\\32y+18x+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\frac{2}{3}-z}{16}\\y=\frac{\frac{3}{4}-z}{30}\\32(\frac{\frac{3}{4}-z}{30}+18(\frac{\frac{2}{3}-z}{16})+z=1|*120\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$8(12-16z)+15(6-9z)+120z=120\Leftrightarrow$$$$143z=66\Leftrightarrow$$$$z=\frac{6}{13}$$