Задание 3049

Четырехугольник $$ABCD$$ таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон $$AD$$ и $$BC$$ равна разности сторон $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что диагональ $$AC$$ – диаметр описанной окружности.

Ответ: ч.т.д.

YouTube Решение 1

ⓘ

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Т.к. можно вписать в него окружность , то $$AB+CD=BC+AD (1)$$. По условию $$AD-BC=AB-CD (2)$$

Сложим (1) и (2): $$2AB=2AD \Rightarrow AB=AD$$

Вычтем (2) из (1): $$2BC=2CD\rightarrow BC=CD$$

2) Пусть $$\angle A=\alpha$$ , тогда $$\angle C=180-\alpha$$ (т.к. можно выслать окружность)

Из $$\Delta ABD: \angle ABD=$$$$\frac{180-\angle A}{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$

Из $$\Delta BCD: \angle DBC =$$$$\frac{180-\angle C}{2}=\frac{\alpha }{2}$$

Тогда $$\angle B=90-\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=90\Rightarrow$$ AC-диаметр