Задание 3025
Задание 3025
Дан треугольник $$ABC$$, на стороне $$AC$$ взята точка $$E$$ так, что $$AE:EC=2:3$$ , а на стороне $$AB$$ взята точка $$D$$ так, что $$AD:DB=1:4$$ . Проведены отрезки $$CD$$ и $$BE$$. Найдите отношение площади получившегося четырехугольника к площади данного треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$BE\cap CD=H$$ ; Пусть $$AE=2x$$ ; $$AD=y \Rightarrow$$ $$DB=4y; EC=3x$$
2) Построим $$DK\left | \right |BE (K=DK\cap AC)\Rightarrow$$ по т Фалеса : $$\frac{AD}{DB}=\frac{AK}{KE}\Rightarrow$$ $$AK=0,4 x; KE=1,6 x$$.
3) Пусть $$S_{ABC}=S$$; $$S_{ADC}=\frac{AD}{AB}S=\frac{S}{5}$$; $$S_{ADK}=\frac{AK}{AC}S_{ADC}=$$$$\frac{2}{25}*\frac{S}{5}=\frac{2S}{125};$$
4) $$HE\left | \right | DK \Rightarrow$$ $$\Delta CHE\sim \Delta CDK$$; $$\frac{S_{CHE}}{S_{CDK}}=(\frac{CE}{CK})^{2}=$$$$(\frac{15}{23})^{2}=\frac{225}{529}\Rightarrow$$ $$S_{DHEK}=\frac{529-225}{529}*S_{CDK}$$; $$S_{CDK}=S_{ADC}-S_{ADK}=\frac{23S}{125}$$; $$S_{DHEK}=\frac{304}{529}*\frac{23S}{125}=\frac{304 S}{23*125}$$; $$S_{ADHE}=\frac{2S}{125}+\frac{304 S}{23*125}=\frac{350 S}{23*125}=\frac{14 S}{115}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=\frac{14}{115}$$