Задание 2977
Задание 2977
Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$
2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$
3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$
4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$