Задание 2609
Задание 2609
Известно, что $$\angle A=24^{\circ}$$ , $$\angle B=81^{\circ}$$ – внутренние углы треугольника ABC . O – такая точка внутри треугольника, что $$\angle OAB=15^{\circ}$$, $$\angle OBA=69^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла $$OCA$$ .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle OBA=69^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=81-69=12^{\circ}$$
2) Пусть $$AO\cup BC=P$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APB=180-(81+15)=84$$
3) Пусть $$a\perp AB$$; $$a\cup AB=B$$; $$a\cup AP=D$$
4) $$\angle DBC=90-81=9^{\circ}$$; $$\angle DAC=424-15=9^{\circ}=\angle DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABDC$$ можно вписать в окружность $$\Rightarrow$$ $$AD$$ - диаметр
5) Пусть $$O_{2}$$ - ее центр, $$T$$ - центр $$BC$$. Пусть $$TQ=TP$$, $$T$$ - центр $$PQ$$, тогда $$\bigtriangleup O_{2}BC$$ - равнобедренный; $$O_{2}T$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}QP=\angle O_{2}PQ=84^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PO_{2}Q=180-2\cdot84=12^{\circ}=\angle OBQ$$ $$\Rightarrow$$ $$O_{2}OQB$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$PO\cdot PO_{2}=PQ\cdot PB$$
6) из $$\bigtriangleup O_{2}PB$$: $$\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{O_{2}B}{\sin84^{\circ}}$$; из $$\bigtriangleup O_{2}PC$$: $$\frac{PC}{\sin18^{\circ}}=\frac{O_{2}C}{\sin96^{\circ}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$; $$O_{2}B=O_{2}C$$; $$\sin84^{\circ}=\sin96^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}$$
7) $$\frac{PQ}{PC}=\frac{PB-QB}{QB}=\frac{PB}{PQ}-1=\frac{PB}{PC}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=$$ $$=\frac{2-\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{PC}{PB}$$
8) $$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{PC}$$ $$\Rightarrow$$ $$PC^{2}=PQ\cdot PB=PO\cdot PO_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PO}{PC}=\frac{PC}{PO_{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup PCO\sim\bigtriangleup PO_{2}C$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PCO=\angle PO_{2}C=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}CA=75-18=57^{\circ}$$