Задание 1052
Задание 1052
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями $$8$$ и $$5$$, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть $$\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$$.